Геометрическая прогрессия: определение, формулы и примеры задач

Геометрическая прогрессия — это не только тема школьного курса алгебры 9 класса, но и закон, по которому растут деньги на вкладе, удваивается аудитория блогера и делятся бактерии в чашке Петри. Понять одну идею — и сразу разберётесь с целым классом задач.

В этой статье простым языком дадим определение, выпишем все нужные формулы — для n-го члена, суммы и бесконечно убывающей прогрессии, — разберём примеры по уровням и соберём шпаргалку для контрольной и ОГЭ. Если параллельно идёт подготовка 8 класс — материал тоже пригодится: тема стыкуется с арифметической прогрессией.

Обещаем по делу: только нужная теория, понятные образцы и формат «дано — найти — решение — ответ».

Что такое геометрическая прогрессия

Определение простыми словами

Это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается, если предыдущий умножить на одну и ту же величину. Пример: 2, 6, 18, 54, 162 — здесь каждый раз умножают на 3. Если же каждый раз прибавляют постоянную величину, это арифметическая прогрессия. Умножают — геометрическая.

Формальное определение

На математическом языке: последовательность называется геометрической прогрессией, если отношение каждого её члена к предыдущему постоянно. Это отношение называют знаменателем прогрессии и обозначают q.

bₙ₊₁ / bₙ = q

Как понять тему на одном примере

Возьмём 2, 6, 18, 54. Первый член b₁ = 2, второй b₂ = 6. Знаменатель: q = 6 / 2 = 3. Проверка: 18 / 6 = 3, 54 / 18 = 3. Отношение одинаковое — перед нами действительно геометрическая прогрессия.

Запомни: главное в этой прогрессии — одинаковое отношение соседних членов.

Основные элементы прогрессии

Чтобы свободно работать с формулами, разберёмся в обозначениях:

• b₁ — первый член последовательности;
• bₙ — n-й член прогрессии;
• q — знаменатель;
• n — номер члена;
• Sₙ — сумма первых n членов.

Когда знаменатель больше 1, меньше 1 или отрицательный

• q > 1 — члены быстро растут (2, 4, 8, 16);
• 0 < q < 1 — члены убывают (1, 1/2, 1/4);
• q < 0 — знаки чередуются (3, −6, 12, −24);
• q = 1 — все члены одинаковы.

Формула n-го члена

Основная формула

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Что означает каждая буква

• bₙ — член, который нужно найти;
• b₁ — первый член прогрессии;
• q — знаменатель;
• n − 1 — показатель степени.

Как пользоваться формулой

1. Определить b₁.
2. Найти q.
3. Подставить номер n.
4. Аккуратно посчитать степень qⁿ⁻¹.

Пример с решением

Дано: b₁ = 3, q = 2. Найти: b₅. Решение: b₅ = 3 · 2⁴ = 48. Ответ: 48.

Типичная ошибка

Школьники путают n и n − 1: подставляют сам номер вместо номера минус один. Ещё одна частая ошибка — терять знак при отрицательном q: чётная степень даёт плюс, нечётная — минус.

Как найти знаменатель

Формула

q = bₙ / bₙ₋₁,   или   q = b₂ / b₁

Пример

Последовательность 5, 15, 45. Знаменатель: q = 15 / 5 = 3. Проверка: 45 / 15 = 3.

Что важно проверить

Ни один член прогрессии не должен равняться нулю — на ноль делить нельзя. И отношение соседних членов должно быть одинаковым на всём протяжении.

Как найти первый член

Формула через n-й член

b₁ = bₙ / qⁿ⁻¹

Пример

Дано: b₄ = 54, q = 3. Решение: b₁ = 54 / 27 = 2. Ответ: 2.

Сумма первых n членов

Главная формула

Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1),   q ≠ 1

Альтернативная запись

Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)

Обе формы дают одинаковый ответ — выбирают ту, где знаменатель дроби получается положительным.

Пример с решением

Дано: b₁ = 2, q = 3, n = 4. S₄ = 2 · (3⁴ − 1) / (3 − 1) = 2 · 80 / 2 = 80. Ответ: 80.

Частые ошибки

• берут q + 1 вместо q − 1;
• путают qⁿ − 1 и 1 − qⁿ;
• забывают условие q ≠ 1.

Сумма бесконечно убывающей прогрессии

Когда такая сумма существует

Обязательное условие — |q| < 1. Только тогда формула имеет смысл.

Формула

S∞ = b₁ / (1 − q)

Простое объяснение

Члены прогрессии становятся всё меньше и меньше. Их бесконечно много, но каждый следующий так мал, что общая сумма приближается к конкретному значению.

Пример

Последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/8. b₁ = 1, q = 1/2. S∞ = 1 / (1 − 1/2) = 2.

Где встречается в жизни

• уменьшающиеся скидки в накопительных программах;
• затухание колебаний в физике;
• деление пути пополам в парадоксе Зенона;
• модели роста и убывания в экономике.

Свойства, которые полезно знать

Основное свойство соседних членов

bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁

Простыми словами

Квадрат любого члена прогрессии (кроме первого) равен произведению двух соседних. Иначе говоря, каждый член — это среднее геометрическое своих соседей.

Пример применения

Если b₂ = 4 и b₄ = 9, то b₃² = 4 · 9 = 36, значит b₃ = 6 (или −6, если знаки чередуются).

Чем отличается от арифметической

Сравнение

• Геометрическая: умножаем предыдущее на постоянное q.
• Арифметическая: прибавляем к предыдущему постоянное d.

Формулы

• Арифметическая: aₙ = a₁ + d · (n − 1);
• Геометрическая: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

Как не путаться

Постоянна разность — арифметическая. Постоянно отношение — геометрическая. Проверьте: 3, 7, 11, 15 — какая прогрессия? А 2, 10, 50, 250? Первая арифметическая (d = 4), вторая геометрическая (q = 5).

Примеры задач

Задача 1 — базовый уровень (7–8 класс)

Найдите b₆, если b₁ = 1 и q = 2. Решение: b₆ = 2⁵ = 32. Ответ: 32.

Задача 2 — средний уровень (8–9 класс)

В прогрессии b₁ = 16 и b₃ = 4. Найти q и b₄. Из b₃ = b₁ · q² получаем q² = 1/4, значит q = ±1/2. При q = 1/2: b₄ = 2.

Задача 3 — сумма (9 класс, ОГЭ)

Найдите сумму пяти первых членов последовательности 3, 6, 12. b₁ = 3, q = 2. S₅ = 3 · 31 = 93.

Задача 4 — бесконечно убывающая

S∞ = 18, b₁ = 6. Найти q. Из 18 = 6 / (1 − q) получаем q = 2/3.

Задача 5 — старшие классы (10–11)

Дано: b₂ + b₄ = 30, b₁ + b₃ = 15. Решение: b₁(q + q³) = 30 и b₁(1 + q²) = 15. Разделим: q = 2. Тогда b₁ = 3.

Формат оформления

Оформляйте по шаблону: Дано — Найти — Решение — Ответ. На ОГЭ и ЕГЭ снимают баллы за пропуски в логике, а не за отличия от образца.

Типичные ошибки школьников

• путают геометрическую и арифметическую прогрессии;
• вместо отношения берут разность соседних чисел;
• забывают, что в степени стоит n − 1, а не n;
• ошибаются со знаком при отрицательном q;
• применяют формулу бесконечной суммы без проверки |q| < 1;
• подставляют значения с перепутанным числителем.

Как проверить себя за 30 секунд

Отношение соседних членов одинаковое? Формула выбрана верно? Для бесконечной суммы выполнено |q| < 1? Ответ логичен: растёт при q > 1, убывает при 0 < q < 1?

Прогрессия в реальной жизни

Тема выходит далеко за рамки учебника. По такому закону растут деньги на банковском вкладе с капитализацией процентов, удваивается аудитория блогера, делятся и размножаются бактерии в колонии, прокачиваются ресурсы в компьютерных играх, и так же постепенно затухает сигнал в проводнике.

Мини-кейс для школьника

Подписчики удваиваются каждую неделю, сейчас их 50. Через 6 недель получаем 50 · 2⁶ = 3200. Та же формула n-го члена прогрессии. А бактерии в чашке Петри удваиваются ещё быстрее: за два часа одна бактерия может превратиться в несколько тысяч.

Мини-кейс для родителя

Покажите ребёнку накопления: 1000 рублей под 10% годовых. Через год — 1100, через два — 1210, через три — 1331. Это прогрессия с q = 1,1.

Как объяснить тему ребёнку за 5 минут

Короткий сценарий для родителей

1. Показать последовательность 2, 4, 8, 16.
2. Спросить, что происходит на каждом шаге.
3. Объяснить идею умножения на одну и ту же величину.
4. Показать формулу n-го члена прогрессии.
5. Решить вместе один простой пример.
6. Посмотреть вместе 5-минутное видео в приложении Kursnova.
7. Пройnи мини-тест сразу после теории.
8. Закрепить материал на курсе для своего класса: 7–8, 9 или 10–11.

Что сказать простыми словами

На детском языке: «Это последовательность, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на один и тот же множитель». Когда ребёнок поймёт идею, можно переходить на язык формул.

Если ребёнок боится формул

Сначала дайте логику на двух-трёх примерах и покажите, как члены прогрессии получаются из предыдущих. Только потом вводите обозначения b₁, bₙ, q, Sₙ — это сокращённая запись понятной мысли.

Мини-шпаргалка — все формулы

• Определение: bₙ₊₁ / bₙ = q.
• n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
• Знаменатель: q = bₙ / bₙ₋₁.
• Первый член: b₁ = bₙ / qⁿ⁻¹.
• Сумма n членов: Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), q ≠ 1.
• Сумма бесконечно убывающей: S∞ = b₁ / (1 − q), |q| < 1.
• Свойство: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁.

Мини-тест для самопроверки

Варианты вопросов

1. Что называют знаменателем прогрессии?
2. Найдите b₄, если b₁ = 2 и q = 3.
3. Найдите сумму трёх первых членов последовательности 4, 12, 36.
4. При каком условии существует сумма бесконечной прогрессии?
5. Какая из последовательностей геометрическая: 3, 6, 9, 12 или 3, 6, 12, 24?

Кому пригодится тема

Школьникам, которые готовятся к контрольной, ВПР, ОГЭ или ЕГЭ — базового и профильного уровня. Родителям, которые хотят быстро помочь ребёнку с домашкой. Тем, кому нужно короткое объяснение без воды.

Заключение

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянную величину. Чтобы свободно решать задачи, держите в голове три ключевые формулы: для n-го члена, для суммы и для бесконечно убывающей прогрессии. Тема становится простой, как только вы поймёте одну идею: каждый следующий член — это предыдущий, умноженный на один и тот же множитель.

Открой приложение Kursnova, посмотри короткое видео и проверь себя в тесте после урока.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое геометрическая прогрессия?
Что такое геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на постоянное q. Пример: 2, 6, 18, 54.

Какая формула используется для прогрессии?
Главная формула геометрической прогрессии — формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. С её помощью находят любой член, зная первый и знаменатель.

Как найти сумму геометрической прогрессии?
Сумма геометрической прогрессии первых n членов: Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), при q ≠ 1. Для бесконечно убывающей при |q| < 1: S∞ = b₁ / (1 − q).

Как решать задачи на геометрическую прогрессию?
Задачи на геометрическую прогрессию решают по шагам: выписать данные, выбрать нужную формулу, подставить значения, посчитать степень и записать ответ.

Какие свойства есть у прогрессии?
Главные свойства геометрической прогрессии: квадрат любого члена равен произведению соседних (bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁); при |q| < 1 существует конечная сумма всех членов; при q < 0 знаки чередуются.