Линейная функция: формула, график и свойства

Линейная функция — это формула y = kx + b, которая на графике всегда превращается в прямую линию. Разберём, что означают k и b, как построить график и где линейная функция пригождается в жизни.

Если с чтением графиков в целом пока туго, лучше сначала заглянуть в материал графики в математике на Курснова — там разобрана основа, без которой эта тема даётся сложнее.

Что такое линейная функция, объясняют обычно в 7 классе, и тема пугает ровно до первого построенного графика. Линейная функция класс за классом усложняется не сильно — база остаётся той же самой формулой, просто примеры становятся хитрее.

Линейная функция 7 класс встречает почти сразу после повторения курса за 6 класс — и от того, насколько прочно уляжется база, зависит вся дальнейшая алгебра.

Линейную функцию y = kx + b определяют два числа

Коэффициент k отвечает за наклон прямой: чем он больше по модулю, тем круче линия идёт вверх или вниз. Свободный член b показывает, где график пересекает ось Y — то есть значение функции при x = 0.

Формула линейной функции короткая, но в ней сразу два смысловых блока — наклон и сдвиг. Линейная функция x = 0 всегда даёт y = b, и это первая точка, которую удобно найти. Точки линейной функции достаточно найти две: дальше через них проводится прямая линия без лишних вычислений. Точка графика линейной функции — это просто пара чисел (x; y), которые подставлены в формулу и сошлись.

Линейные функции 7 класса: с чего начать 

1 линейная функция на графике — это всегда прямая, и в этом смысле все линейные функции похожи друг на друга. Две линейные функции пересекаются в одной точке, если их коэффициенты k разные, и никогда не пересекаются, если k одинаковые, а b — нет.

Рисунок линейная функция в учебнике обычно один и тот же: две оси координат, одна наклонная линия и пара отмеченных точек. Как только глаз привыкает к этой картинке, узнавать функцию по графику становится делом секунды.

Как построить график линейной функции 

Найдите график линейной функции проще, чем кажется: возьмите формулу, подставьте два значения x, получите два y — вот и весь чертёж. Как построить линейную функцию без ошибок? Не спешить между шагами и сразу подписывать координаты каждой точки.

• Подставь x = 0, найди y — это первая точка
• Подставь любое другое x, найди второй y
• Отметь обе точки на координатной плоскости
• Проведи через них прямую линию

Найдите точку графика линейной функции, где она пересекает ось X — для этого достаточно приравнять y к нулю и решить получившееся уравнение относительно x.

Пример: сравниваем две линейные функции 

Возьмём линейная функция 1: y = 2x + 1, и линейная функция 2: y = 2x − 3. Коэффициент k у обеих одинаковый — значит, графики идут строго параллельно и никогда не пересекутся, сколько ни продолжай линии в обе стороны.

А теперь поменяем k у второй: линейная функция 2 становится y = −x − 3. Коэффициенты стали разными, и прямые обязательно пересекутся в одной точке — её можно найти, приравняв правые части уравнений друг к другу.

Свойства линейной функции

Свойства линейной функции простые: область определения — все числа без исключения, а монотонность зависит только от знака k. Если k положительный, график линейной функции растёт слева направо, если отрицательный — падает. Примеры линейных функций встречаются на каждом шагу: от расчёта такси по километражу до перевода температуры из Цельсия в Фаренгейт.

Две линейные функции с одинаковым k, но разным b, никогда не пересекаются — их графики идут параллельно друг другу на любом расстоянии, хоть до бесконечности продолжай.

Линейная функция в жизни и её коэффициенты

Линейная функция в жизни встречается чаще, чем кажется: тариф такси, стоимость связи, перевод единиц — всюду есть постоянная ставка и стартовая сумма. Линейная функция и ее коэффициенты в таких задачах читаются буквально: k — цена за единицу, b — то, что платишь в любом случае, даже без единого километра пути.

Возьмём тариф такси: посадка 200 рублей плюс 15 рублей за километр. Это ровно линейная функция y = 15x + 200, где x — пройденные километры. Заметил закономерность в счёте за такси или связь — уже держишь в голове формулу, просто без буквенных обозначений.