Свойства параллелограмма: определение, признаки и примеры задач

Противоположные стороны параллелограмма равны. Равны и его противоположные углы. Диагонали делятся пополам — точка деления совпадает с точкой их пересечения. Сложите два прилежащих угла — получится 180°. А диагональ сразу делит фигуру на два равных треугольника.

Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник. Его противоположные стороны попарно параллельны. Свойстваописывают уже известную фигуру. Признаки — противоположная задача: доказать, что четырехугольник вообще является параллелограммом. В поиске тему формулируют по-разному: «свойства параллелограмма 8», «свойства параллелограмма класс». Курс один и тот же. У параллелограмма всегда четыре стороны и выпуклый вид. Это частный случай выпуклогомногоугольника.

Определение параллелограмма и его место в геометрии 8 класса

Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник. Его противоположные стороны попарно параллельны. В учебниках запрос параллелограмм определение и свойства записан так же. На рисунке обозначают стороны AB, BC, CD, DA. Отмечают углы при вершинах и диагонали AC и BD. Точку пересечения диагоналей подписывают буквой O. Параллельность сторон — это часть определения. Доказывать её отдельно не нужно.

Свойства параллелограмма и их доказательства

Геометрия свойства параллелограмма обычно даёт списком — так легче запомнить. В списке школьных формулировок эти пункты часто идут под номерами: свойства параллелограмма 1 2, то есть первые два свойства о сторонах и углах. У каждого свойства есть короткое доказательство. Оно опирается на параллельность прямых, равенство треугольников или теорему о накрест лежащих углах. Теорема о равенстве треугольников — база для всех остальных теорем этой темы. Доказательствокаждого пункта короткое и опирается на уже известную теорему. Для сторон и для углов эту теорему доказывают отдельно.

Противоположные стороны и противоположные углы равны

1 свойство параллелограмма: AB = CD, BC = AD — стороны равны. С углами похожая картина. 2 свойства параллелограмма— это ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Доказательство простое. Диагональ делит параллелограмм на два треугольника. Они равны по первом признаке равенства треугольников. Отсюда и равенство сторон, и равенство углов. Равенству сторон обычно уделяют отдельный шаг доказательства.

Диагонали делятся пополам в точке пересечения

Диагонали пересекаются в точке O: AO = OC, BO = OD. Между собой диагонали параллелограмма равными быть не обязаны. Точкой пересечения они делятся пополам всегда. Именно это часто путают в задачах.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника

Треугольники равны — равны и их стороны, углы, площади частей фигуры. Ещё одно свойство касается прилежащих углов: их сумма у одной стороны равна 180°. Это свойство пригождается в задачах на углы параллелограмма. У любого четырехугольника сумма углов равна 360°. Параллелограмм не исключение.

Диагональ, биссектриса, площадь и периметр параллелограмма

Иногда тему ищут в обратном порядке: углы параллелограмма свойства. Смысл тот же — как связаны противоположные и прилежащие углы. Разберём диагональ, биссектрису и формулы площади. Параллелограмм как геометрическая фигуравстречается не только в задачах, но и в жизни: плитка на полу, элементы дизайна. Такая геометрическая фигура хорошо иллюстрирует связь алгебры и геометрии.

Чему равны диагонали параллелограмма

В общем случае диагонали не равны. У прямоугольника — частного случая параллелограмма — все углы прямые, и диагонали там равны. То же верно для квадрата. Параллельность сторон задаёт всю фигуру с самого начала. Параллельностьдиагоналей параллелограмму не свойственна.

Биссектриса угла, высота и формулы площади

Биссектриса делит угол пополам. В основные свойства параллелограмма она не входит. Площадь находят по формуле S = a × h. Периметр — по формуле P = 2(a + b). Здесь h — высота, опущенная на сторону a. Площадь зависит от стороны и высоты, не от диагоналей. Периметр складывают из четырёх сторон. Благодаря равенству сторон достаточно знать только две соседние. Высоту проводят из вершины к противоположной стороне под прямым углом.

Признаки параллелограмма и чем они отличаются от свойств

Свойство работает для уже известного параллелограмма. Признак помогает доказать, что фигура — параллелограмм. Это разные задачи, хотя формулировки похожи.

Если противоположные стороны или углы попарно равны

Первый признак: противоположные стороны попарно равны. Второй признак: противоположные углы попарно равны. Такие признаки используют именно для доказательства, а не для вычисления. Каждый признак — маленькая теорема. Она обратна своему свойству.

Если диагонали делятся пополам или одна пара сторон равна и параллельна

Третий признак: диагонали четырехугольника делятся пополам в точке пересечения. Четвёртый: одна пара сторон равна и параллельна другой. Есть и дополнительный признак: сумма соседних углов равна 180°. Сумма углов всей фигуры при этом остаётся прежней: 360°.

Решение задач по свойствам параллелограмма

Ниже — шаблоны решения для ВПР, контрольной и домашнего задания. Для каждой задачи: условие, ход мысли, ответ и свойство, которое использовали.

Задача на углы параллелограмма

Один угол равен 70°. Найдите остальные. Противоположные углы равны. Противоположный угол тоже равен 70°. Прилежащие углы в сумме дают 180°. Прилежащий угол равен 180° − 70° = 110°. Четвёртый угол противоположен второму — тоже 110°. Для контрольной по такой теме пригодится статья о том, как подготовиться к контрольной по математике.

Задача на диагонали и точку пересечения

Дано: AO = 6 см. Найдите OC. Диагонали делятся пополам в точке пересечения. Значит, OC тоже равен 6 см. Вся диагональAC = 12 см. Задача на доказательство: дан четырехугольник, у которого диагонали делятся пополам. Докажите, что это параллелограмм — здесь как раз и работает признак, а не свойство. Разбор типичных ошибок на ВПР помогает не путать свойства с признаками в таких задачах.

Как запомнить свойства параллелограмма и закрепить тему

Мини-конспект на 5 пунктов: стороны равны, углы равны, диагонали делятся пополам, диагональ создаёт два равных треугольника, сумма прилежащих углов 180°. Для школьников хорошо работает связка: 5 минут теории, одна схема, две задачи, мини-тест. Лучшие способы запоминания для школьников подходят и для этой темы — формулировки короткие, запоминаются быстро. Равенство сторон и углов проще запомнить вместе, чем по отдельности.

Проверьте себя: чему равна сумма прилежащих углов? Делятся ли диагонали параллелограмма пополам всегда? Чем признак отличается от свойства? Если готовитесь к теме заранее, посмотрите, что входит в программу — повторить программу 8 класса можно по отдельному списку тем, а конкретно по геометрии пригодится раздел геометрия 8 класс. Посмотрите короткое видео в приложении Kursnova и пройдите тест для закрепления. Отдельная статья про преимущества обучения через видео объясняет, почему это работает.