Разность квадратов: формула, примеры и разложение на множители

Формула разности квадратов: $a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$. Её применяют, когда выражение — разность двух квадратов, и нужно разложить его на множители или упростить. В некоторых источниках её подписывают иначе — разность квадратов формула сокращенного умножения, но суть та же.

Дальше разберём разность квадратов примеры от чисел до многочленов, покажем, как решать уравнения, и закрепим тему заданиями в приложении Kursnova.

Почему это работает

Это не совпадение, а следствие обычного раскрытия скобок:  $(a — b)(a + b) = a^2 + ab — ab — b^2 = a^2 — b^2$. Средние слагаемые с противоположными знаками уничтожаются, и получается искомое тождество — верное для любых чисел, одночленов и многочленов.

Доказательство через раскрытие скобок

Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов: каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй. Получаем $a^2 + ab — ab — b^2$, где $+ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются. Такое преобразование — стандартный приём алгебры, знакомый по сокращённому умножению. В сборниках формул этот пункт иногда дают в обратном порядке слов — сокращенного умножения разность квадратов, смысл при этом не меняется.

Когда применять её, а когда квадрат разности

Три записи легко перепутать:
$a^2 — b^2$, $(a — b)^2$, $(a + b)^2$
В учебниках их иногда нумеруют так: 1 разность квадратов, 2 квадрат суммы, 3 квадрат разности, а кое-где встречается и двойной номер — 1 2 разность квадратов, потому что формула работает в обе стороны: и как раскрытие, и как разложение на множители. Правило простое — сначала смотрим, относится ли квадрат ко всей скобке целиком или к отдельным слагаемым. Квадрат суммы и квадрат разности всегда дают три слагаемых, а она — только два.

Квадрат суммы и квадрат разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$.

Типичная ошибка — принять  $(a — b)^2$ за разность квадратов. На самом деле это другое выражение, а не то, что нужно.

Что делать с суммой квадратов

Выражение $a^2 + b^2$ школьная алгебра обычно не раскладывает на множители тем же способом.

Контрпример: $9 + 16 = 25$, а $(3 + 4)^2 = 49$ – числа не совпадают, значит этот приём тут не работает. В некоторых сборниках рядом с ней стоит номер — разность квадратов 2, если квадрат суммы считать формулой номер один.

Как решать такие уравнения

Алгоритм простой: узнать в уравнении разность квадратов, разложить на множители, применить правило — произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Тема входит в школьную программу 7 класса и пригодится при подготовке к экзаменам в старших классах. Разберём на двух уравнениях:
$x^2 — 49 = 0$ и $9x^2 — 16 = 0$.

Простое уравнение вида x^2 — a^2 = 0

$x^2 — 49 = 0$ превращается в $(x — 7)(x + 7) = 0$, откуда $x = 7$ или $x = -7$. Корни уравнения получаются противоположными по знаку, потому что оба сомножителя дают одно и то же число с разным знаком. Такой навык особенно пригождается при подготовке к ОГЭ по математике, где разложение на множители экономит время на контрольной. Это удобно проверять устно, ещё до того, как переходить к письменному оформлению решения.

Уравнение с коэффициентами и степенью

$9x^2 — 16 = 0$ — это $(3x)^2 — 4^2 = 0$, то есть $(3x — 4)(3x + 4) = 0$. Отсюда $x = \frac{4}{3}$ или $x = -\frac{4}{3}$. Здесь важно верно найти степень числа: $9x^2$ — это $(3x)$ в квадрате, а $16$ — это $4$ во второй степени. Такое преобразование чисел похоже на приёмы сокращенного умножения из предыдущих примеров: сначала находим квадратный корень из каждого слагаемого, затем записываем произведение суммы и разности. Такую проверку вычислений и сокращенного результата полезно повторить самостоятельно. Проверка подстановкой в исходное уравнение — обязательный шаг, и оба варианта оказываются верны.

Примеры в числах, выражениях и многочленах

Примеры удобно выстраивать по нарастанию: числа, одночлены, двучлены, многочлены. В каждом сначала находим, что именно является квадратом — число, одночлен или целая скобка.

Числа и одночлены

$25 — 9 = (5 — 3)(5 + 3) = 16$. $x^2 — 16$ — это разность квадрата числа $x$ и квадрата числа $4$, то есть $(x — 4)(x + 4)$. $49a^2 — b^2 = (7a — b)(7a + b)$. Чтобы уверенно находить такие пары у чисел, одночленов и двучленов, полезно помнить основное свойство дроби — оно тоже строится на похожих преобразованиях.

Буквенные выражения и двойные скобки

Квадратом может быть целый двучлен: $(m + 1)^2 — 4 = (m + 1 — 2)(m + 1 + 2) = (m — 1)(m + 3)$. То же с $a^2 — (b — 3)^2 = (a — b + 3)(a + b — 3)$. Разность квадратов двучлена решается так же, только квадраты — не числа, а целые составляющие в скобках.

Мнемонические правила для знаков и типичные ошибки

Частые ошибки: перепутать знаки, потерять структуру произведения, попытаться разложить сумму так же, как разность. Короткая память: минус между квадратами — скобки с минусом и плюсом.

Что будет, если потерять средний член

В ней среднего слагаемого нет, а в двух остальных случаях оно есть: $2ab$ с плюсом или минусом. Если сравнить $a^2 — b^2$ и $(a — b)^2$ рядом, ошибка сразу видна — во втором выражении три члена, а не два.

Как быстро всё запомнить

Мнемоника простая: одинаковые части, разные знаки в скобках. После чтения полезно закрепить правило 3–5 короткими заданиями — эффективные лучшие способы запоминания для школьников обычно строятся именно на короткой практике сразу после теории, а не на зазубривании. Небольшая памятка: держите тождество, преобразование и произведение суммы и разности перед глазами, пока не начнёте видеть её автоматически. Регулярные сокращенные вычисления по шагам избавляют от ошибок быстрее любой теории, а иногда достаточно одного примера, чтобы разобраться в задаче.

Как закрепить тему на практике

Пять задач для самопроверки:

$25 — 4$;
$x^2 — 9$;
$(a + 2)^2 — 1$;
$9x^2 — 25 = 0$;
$4x^2 — 1 = 0$.

Три первых — базовые, два последних — на нахождение корня. В некоторых сборниках такое задание подписано как сумма разности квадратов 2, объединяя его с соседним пунктом.

Ответы:

$(5 — 2)(5 + 2) = 21$;
$(x — 3)(x + 3)$;
$(a + 1)(a + 3)$;
$x = \frac{5}{3}$ или $x = -\frac{5}{3}$;
$x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{1}{2}$.

Сверьте вычисления перед тем, как проверять себя по ключу.

Родителям полезно смотреть на три признака понимания темы: ребёнок узнаёт шаблон разности квадратов в выражении, не путает её с квадратом разности и решает 2–3 примера без подсказки. Для повторения подойдёт короткое видео и тест в приложении Kursnova — а о том, как онлайн-уроки и видео-курсы могут заменить репетитора, читайте в отдельной статье. Тем, кто готовится к геометрия 7 класс, тоже пригодится формат коротких видео и тестов. Тема подходит ученикам 7–9 классов и их родителям, которые хотят помочь дома.