Линейные уравнения: правила решения, перенос слагаемых и примеры

Линейные уравнения — самая простая и самая важная тема в школьной алгебре. Переменная в первой степени, никаких сюрпризов в виде корней или квадратов. Линейные уравнения 7 класс встречает почти сразу после повторения курса за 6 класс, и от того, насколько прочно уляжется база, зависит вся дальнейшая алгебра.

Линейные уравнения 7 — тема короткая по формулировке, но именно на ней держится добрая половина курса алгебры дальше. Алгебра линейные уравнения включает в программу с первых недель не случайно: без этого навыка не разобрать ни системы, ни более сложные типы уравнений.

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение — это равенство вида ax + b = 0, где переменная x стоит в первой степени, а a и b — обычные числа. Решение линейных уравнений всегда сводится к одному и тому же: найти такое x, при котором равенство становится верным.

Как решать линейные уравнения без путаницы? Держаться одного порядка действий, а не изобретать его заново для каждой новой задачи. Алгоритм решения линейного уравнения всегда один и тот же, вне зависимости от конкретных чисел: упростить обе части, перенести переменные и числа по разные стороны, привести подобные, разделить на коэффициент.

Перенос слагаемых: главное правило 

Перенос слагаемых — операция, на которой держится всё решение. Слагаемое переносится через знак равенства с противоположным знаком. Было плюс, стало минус, и наоборот. Забыл поменять знак — и весь дальнейший расчёт летит мимо ответа, даже если остальные шаги выполнены безупречно.

Подобные слагаемые приводятся уже после переноса, не раньше. Сначала все переменные в одну сторону, все числа в другую. И только потом складываются и вычитаются, а не в произвольном порядке.

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений — это уже не одно равенство, а несколько сразу, связанных общими переменными. Система линейных уравнений 7 класс обычно ограничивается двумя уравнениями и двумя переменными. Этого достаточно, чтобы освоить сам принцип.

Системы линейных уравнений 7 класс решают тремя способами: подстановкой, сложением и графически. Решение систем линейных уравнений всегда даёт одну из трёх картин: единственное решение, бесконечно много решений или ни одного, если прямые оказались параллельны.

Методы решения линейных уравнений

Методы решения линейных уравнений для одного уравнения с одной переменной, по сути, один: перенос и упрощение. Методы решения систем линейных уравнений разнообразнее — подстановка, сложение, график — и способы линейных уравнений здесь уже подбираются под конкретную ситуацию, а не берутся наугад.

Метод подстановки

Линейное уравнение методом подстановки решают так: из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую, а потом подставляют это выражение во второе уравнение. Система из двух неизвестных превращается в одно обычное уравнение, привычное и понятное.

Метод сложения 

Метод сложения работает иначе: уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных сократилась. Иногда для этого приходится сначала умножить одно из уравнений на число. Это нормально, коэффициенты подгоняют специально ради удобства.

Графический метод

Графический метод среди методов решения систем линейных уравнений самый наглядный. Строишь оба уравнения как прямые на координатной плоскости, и точка пересечения — готовый ответ. Минус один: точность зависит от аккуратности чертежа, а не только от верных вычислений.

Пример: решаем систему двумя способами

Возьмём систему: x + y = 10, x − y = 2. Способом сложения — складываем оба уравнения, переменная y сокращается: 2x = 12, отсюда x = 6. Подставляем в первое уравнение: 6 + y = 10, значит y = 4.

Тот же результат методом подстановки: из первого уравнения выражаем y = 10 − x, подставляем во второе: x − (10 − x) = 2, отсюда 2x = 12, x = 6, y = 4. Ответ совпал — а значит, заодно получилась проверка обоих способов друг другом.

Линейное уравнение с двумя переменными 

Линейное уравнение с двумя переменными само по себе не имеет единственного решения. У него бесконечно много пар (x; y), которые ему удовлетворяют. Единственное решение появляется только тогда, когда таких уравнений становится два, то есть когда добавляется вторая часть системы.

Линейные уравнения примеры

 Линейные уравнения примеры проще разбирать по возрастающей сложности. Возьмём 3x + 5 = 14. Переносим 5 направо со сменой знака: 3x = 9. Делим на 3: x = 3.

Темы линейных уравнений усложняются постепенно: сначала простое равенство, потом уравнение со скобками, потом переменная сразу в обеих частях. 2(x − 1) = x + 4 раскрывается в 2x − 2 = x + 4. Дальше перенос: x = 6.

Линейные уравнения в жизни

Линейные уравнения встречаются чаще, чем кажется на первый взгляд: расчёт стоимости такси по километражу, перевод скорости из одной единицы в другую, простые задачи на смеси и сплавы в химии. Везде одна и та же логика — есть неизвестное, и оно находится через равенство.

Даже бытовой подсчёт вроде «сколько ещё нужно откладывать, чтобы накопить на покупку за N месяцев» — это, по сути, то же самое линейное уравнение, просто без буквенных обозначений и без записи на бумаге. Алгоритм в голове срабатывает тот же самый, только незаметно для самого считающего.